Question

5．已知函数f（x）=-3x²-3x+$\frac{1}{4}$+b²，求x∈[-b，b]（b＞0）上的最值．

Answer 1

分析 根据函数f（x）=-3x²-3x+$\frac{1}{4}$+b²的图象是开口朝下，且以直线x=-$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，分析函数f（x）在[-b，b]上的单调性，进而可得最值．

解答 解：∵函数f（x）=-3x²-3x+$\frac{1}{4}$+b²的图象是开口朝下，且以直线x=-$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
当-b≥$-\frac{1}{2}$，即0＜b≤$\frac{1}{2}$时，函数f（x）在[-b，b]上为减函数，
当x=-b时，函数f（x）取最大值-2b²+3b+$\frac{1}{4}$，
当x=b时，函数f（x）取最小值-2b²-3b+$\frac{1}{4}$，
当-b＜$-\frac{1}{2}$，即b＞$\frac{1}{2}$时，
函数f（x）在[-b，$-\frac{1}{2}$]上为增函数，在[$-\frac{1}{2}$，b]上为减函数，
当x=-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取最大值1+b²，
当x=b时，函数f（x）取最小值-2b²-3b+$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．