Question

9．已知等差数列{a_n}中，其前n项和为S_n，a₂=4，S₅=30．
（1）求{a_n}的首项a₁和公差d的值；
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{S_n}$，求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂=4，S₅=30，得  $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\end{array}\right.$ 解得 首项a₁和公差d的值
（2）可得 ${s}_{n}={n}^{2}+n$，b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，累加即可．

解答 解：（1）因为{a_n}是等差数列，a₂=4，S₅=30，
所以  $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\end{array}\right.$ 
解得 a₁=2，d=2
（2）由（1）知 ${s}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}=2n+\frac{n（n-1）}{2}×2$
即 ${s}_{n}={n}^{2}+n$
所以b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
于是数列{b_n}的前n项和 T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$

点评 本题考查了等差数列的通项、裂项求和，属于中档题．