Question

【题目】已知函数，其中.

（1）设是函数的极值点，讨论函数的单调性；

（2）若有两个不同的零点和，且，

（i）求参数的取值范围；

（ii）求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（i），（ii）见解析.

【解析】

（1）求函数导数，由可得解，进而得单调区间；

（2）（i）分析函数导数可得函数单调性，结合，所以，可得解；

（ii）先证当时，若，得存在，进而证，再证时，，可得，构造函数，利用函数单调性即可证得.

（1），

若是函数的极值点，则，得，经检验满足题意，

此时，为增函数，

所以当，单调递减；

当，单调递增

（2）（i）， ，

记，则，

知在区间内单调递增.

又∵， ，

∴在区间内存在唯一的零点，

即，于是， .

当时， 单调递减；

当时， 单调递增.

若有两个不同的零点和，且，

易知，所以，解得.

（ii）当时有，令.

由（i）中的单调性知，存在，当.

，所以.

下证当时，.

由，

所以，

由（i）知，当，得..

所以，令

要证，即证.

令单调递增，且，

所以单调递增，所以.得证.