Question

18．已知双曲线C的离心率为$\frac{5}{2}$，左、右焦点为F₁，F₂，点A在C上，若|F₁A|=2|F₂A|，则cos∠AF₂F₁=$\frac{13}{20}$．

Answer 1

分析 由题意，结合双曲线的定义，可得|F₂A|=2a，|F₁A|=4a，由离心率公式可得|F₁F₂|=2c=5a，在△AF₁F₂中，运用余弦定理，即可得到所求值．

解答 解：由于|F₁A|=2|F₂A|，
由双曲线的定义，得：
|F₁A|-|F₂A|=|F₂A|=2a，
则|F₁A|=4a，
又双曲线的离心率为$\frac{5}{2}$，则|F₁F₂|=2c=5a，
在△AF₁F₂中，$cos∠A{F_2}{F_1}=\frac{{25{a^2}+4{a^2}-16{a^2}}}{2×5a×2a}=\frac{13}{20}$；
故答案为：$\frac{13}{20}$．

点评 本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的运用，同时考查三角形的余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．