Question

17．如图，圆O的割线PA过圆心O交圆于另一点B，弦CD交OB于点E，且∠P=∠OCE，PB=OA=2，则PE的长等于3．

Answer 1

分析 证明△COE∽△PDE可得$\frac{OE}{ED}=\frac{CE}{PE}$，即OE•PE=CE•ED；由相交弦定理可得：CE•ED=AE•EB．进而得到OE•PE═AE•EB，再利用已知解出即可．

解答 解：∵∠P=∠OCE，∠CEO=∠PED
∴△COE∽△PDE，可得$\frac{OE}{ED}=\frac{CE}{PE}$，∴OE•PE=CE•ED，
由相交弦定理可得：CE•ED=AE•EB．
∴OE•PE═AE•EB，
∴OE•（PB+OB-OE）=（AO+OE）•（OB-OE），
∵PB=OA=2=OB，
∴OE•（2+2-OE）=（2+OE）•（2-OE），
化为4OE=4，解得OE=1．
∴PE=PB+OB-OE=2+2-1=3．
故答案为：3．

点评 熟练掌握三角形相似的性质和相交弦定理是解题的关键．