Question

5．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求出g（x）的对称中心并画出g（x）在[0，4π]上的图象．

Answer 1

分析 （1）由已知求出周期，进一步求得ω，再由函数为偶函数求得φ，则函数解析式可求；
（2）通过函数的图象平移求得函数g（x）的解析式，并求出函数的对称中心，然后利用五点作图作出函数的图象．

解答 解：（1）∵函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，∴周期T=π．
则ω=$\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，函数f（x）=2sin（2x+φ），
又函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）为偶函数，
则2sinφ=2，即sinφ=1，∴φ=$\frac{π}{2}$．
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后，所得函数解析式为y=2cos2（x-$\frac{π}{3}$）=2cos（2x-$\frac{2π}{3}$），
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，解析式为g（x）=$2cos（\frac{1}{2}x-\frac{2π}{3}）$．
由$\frac{1}{2}x-\frac{2π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$，得x=$\frac{7π}{3}+2kπ$，k∈Z．
∴函数g（x）的对称中心为（$\frac{7π}{3}+2kπ$，0），k∈Z；
列表：

x	0	$\frac{4π}{3}$	$\frac{7π}{3}$	$\frac{10π}{3}$	4π	$\frac{13π}{3}$
$\frac{1}{2}x-\frac{2π}{3}$	$-\frac{2π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{4π}{3}$	$\frac{3π}{2}$
y	-1	2	0	-2	-1	0

用平滑曲线连接得到函数图象如图：

点评 本题考查三角函数的图象平移，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象及性质，是中档题．