Question

已知：A，B，C是直线l上的点，O是直线l外一点，且

OA

-[f(x)+

f(1)

3

]

OB

+x3

OC

=

0

，若当x∈[-1，1]时，af（x）-3x+1≥0恒成立，则实数a的值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义,函数恒成立问题

专题：平面向量及应用

分析：由

OA

-[f(x)+

f(1)

3

]

OB

+x3

OC

=

0

，求出f（x）=x³-

1

4

，af（x）-3x+1≥0为a（x³-

1

4

）-3x+1≥0，分类讨论，分离参数，即可求出实数a的值．

解答： 解：∵A，B，C是直线l上的点，O是直线l外一点，且

OA

-[f(x)+

f(1)

3

]

OB

+x3

OC

=

0

，
∴f（x）+

f(1)

3

-x³=0，
∴f（1）+

f(1)

3

-1=0，
∴f（1）=

3

4

，
∴f（x）=x³-

1

4

，
∴af（x）-3x+1≥0为a（x³-

1

4

）-3x+1≥0
（1）a=0时，-3x+1≥0在[-1，1]上不能恒成立
（2）a＜0时，f′（x）=3ax²-3＜0，f（x）是减函数，其最小值为f（1）．
若对x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，则需f（1）≥0
即

3

4

a-3+1≥0，
∴a≥

8

3

，
∵a＜0，∴此时无解．
（3）a＞0时，f（x）=a（x³-

1

4

）-3x+1≥0恒成立，x∈[-1，1]，
①x=0时，-

a

4

+1≥0成立，∴a≥4
②0＜x≤1时，a≥

3x-1

x3

令g（x）=

3x-1

x3

，求导得g′（x）=

-6x+3

x4

易知0＜x＜

1

2

时函数递增，

1

2

＜x＜1时递减，
∴g（x）最大值为g（

1

2

）=4，
∴a≥4
③-1≤x＜0时，a≤

3x-1

x3

令g（x）=

3x-1

x3

，求导得g′（x）=

-6x+3

x4

可知g（x）在-1＜x＜0时是增函数，其最小值为g（-1）=4
∴a≤4
由②知a≥4，
∴a=4．
综上知a=4．

点评：本题考查平面向量的基本定理，考查导数知识的运用，考查分离参数法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．