Question

如图，曲线E是由抛物线弧E₁：y²=4x（0≤x≤

2

3

）与椭圆弧E₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（

2

3

≤x≤a）所围成的封闭曲线，且E₁与E₂有相同的焦点．
（Ⅰ）求椭圆弧E₂的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，|FA|=r₁，|FB|=r₂，且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r₁；并求

r1

r2

的取值范围．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合,抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）确定（

2

3

，

8 3

）为椭圆上一点，利用椭圆的定义求出a，即可求椭圆弧E₂的方程；
（Ⅱ）曲线E由两部分曲线E₁和E₂组成，所以按A在抛物线弧E₁或椭圆弧E₂上加以分类，由曲线E的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上），利用三角函数的性质，即可求

r1

r2

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）抛物线弧E₁：y²=4x（0≤x≤

2

3

）的焦点为（1，0），且x=

2

3

时，y²=

8

3

，
所以（

2

3

，

8 3

）为椭圆上一点，又椭圆的焦点为（-1，0），（1，0），…（2分）
所以2a=

7

3

+

5

3

=4．…（3分）
所以a=2，b=

3

，…（4分）
所以椭圆E₂的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（

2

3

≤x≤2）．…（5分）
（Ⅱ）曲线E由两部分曲线E₁和E₂组成，所以按A在抛物线弧E₁或椭圆弧E₂上加以分类，由曲线E的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上）．
当x=

2

3

时，y=±

2 6

3

，此时r=

5

3

，cosα=-

1

5

；
当-

1

5

≤cosα≤1时，A在椭圆弧E₂上，
由题设知A（1+r₁cosα，r₁sinα），
将A点坐标代入

x2

4

+

y2

3

=1得，3(1+r1cosα)2+4(r1sinα)2-12=0，
整理得(4-cos2α)r12+6r1cosα-9=0，
解得r1=

3

2+cosα

或r1=

3

cosα-2

（舍去）．…（6分）
当-1≤cosα≤-

1

5

时，A在抛物线弧E₁上，由抛物线定义可得r₁=2+r₁cosα，
所以r1=

2

1-cosα

，…（7分）
综上，当-1≤cosα≤-

1

5

时，r1=

2

1-cosα

；当-

1

5

≤cosα≤1时，r1=

3

2+cosα

或．
相应地，同理可得

1

5

≤cosα≤1，r₂=

2

1+cosα

；当-1≤cosα≤

1

5

时，根据图形的对称性，r₂=

3

2-cosα

．…（9分）
所以，当-1≤cosα≤-

1

5

时，A在抛物线弧E₁上，B在椭圆弧E₂上，

r1

r2

=

2

1-cosα

•

2-cosα

3

=

2

3

（1+

1

1-cosα

）∈[1，

11

9

]；   …（10分）
当

1

5

≤cosα≤1时A在椭圆弧E₂上，B在抛物线弧E₁上，

r1

r2

=

3

2+cosα

•

1+cosα

2

=

3

2

(1-

1

2+cosα

)∈[

9

11

，1]；   …（11分）
当-

1

5

＜cosα＜

1

5

时A、B在椭圆弧E₂上，

r1

r2

=

3

2+cosα

•

2-cosα

3

=-1+

4

2+cosα

∈（

9

11

，

11

9

）；       …（12分）
综上，

r1

r2

的取值范围是[

9

11

，

11

9

]．…（13分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间距离公式及椭圆方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对能力要求高．