Question

15．正数数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对于任意的n∈Z⁺，均有S_n与1正的等比中项等于a_n与1的等差中项．
（1）试求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由条件等差中项、等比中项的定义，求得：a_n+1-a_n=2，可得数列{a_n}为公差d=2的等差数列，再结合a₁=1，求得{a_n}的通项公式．
（2）先化简数列{b_n}的通项公式，再利用裂项法求得它的前n项和，可得结论．

解答 解：（1）由题意得：$2\sqrt{S_n}={a_n}+1（{n∈{Z^+}}）$，故$4{S_n}={（{{a_n}+1}）^2}$…①，又 $4{S_{n+1}}={（{{a_{n+1}}+1}）^2}$…②，
②-①得：$4（{{S_{n+1}}-{S_n}}）={（{{a_{n+1}}+1}）^2}-{（{{a_n}+1}）^2}$，整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．
由已知a_n＞0，∴a_n+1+a_n＞0，故a_n+1-a_n-2=0，
即a_n+1-a_n=2，所以数列{a_n}为公差d=2的等差数列．
又由$4{S_1}={（{{a_1}+1}）^2}$可得：a₁=1，∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）由题意可得 ${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）•（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}[\frac{1}{{（{2n-1}）}}-\frac{1}{{（{2n+1}）}}]$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{2n+1}$]＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查利用递推关系求和，等差中项、等比中项的定义，等差关系的确定，利用裂项法求和，属于中档题．