Question

已知函数f（x）

x+ 1 x ，x＞0 x3+3，x≤0

，则方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的个数可能为______（将正确命题的序号全部填入）
①1个②2个③3个④4个⑤5个⑥6个．

Answer 1

画出函数f（x）=

x+ 1 x ，x＞0 x3+3，x≤0

的图象如右图，
令t=2x²+x，
当2＜a≤3时，y=a与y=f（t）的图象有三个交点，三个交点的横坐标记为t₁，t₂，t₃且t₁≤0＜t₂＜t₃，
当2x²+x=t₂时，该方程有两解，2x²+x=t₃时，该方程也有两解，2x²+x=t₁时，该方程有0个解或1个解或2个解，
∴当2＜a≤3时，方程f（2x²+x）=a的根的个数可能为4个，5个，6个；
当a＞3时，y=a与y=f（t）的图象有两个交点，两个交点的横坐标记为t₄，t₅且0＜t₄＜t₅，
当2x²+x=t₄时，该方程有两解，2x²+x=t₅时，该方程也有两解，
∴当a＞3时，方程f（2x²+x）=a的根的个数为4个；
综上所述：方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的个数可能为4个，5个，6个．
故答案为：④⑤⑥．