Question

1．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中点．
（Ⅰ）证明：ED⊥PE；
（Ⅱ）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA⊥平面ABCD先证明DE⊥PA．连接AE，由勾股定理证明DE⊥AE，通过证明DE⊥平面PAE，即可得证PE⊥ED．
（Ⅱ）过点F作FH∥ED交AD于点H，再过点H作HG∥DP交PA于点G，通过证明平面GEH∥平面PFD，然后证明EG∥平面PFD．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）证明：由PA⊥平面ABCD，得DE⊥PA．连接AE，
因为AD=2AB，
所以由勾股定理可得DE⊥AE．
所以DE⊥平面PAE，
因此PE⊥ED．    …（6分）
（Ⅱ）过点F作FH∥ED交AD于点H，则FH∥平面PED，且有AH=$\frac{1}{4}$AD．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PED，且AG=$\frac{1}{4}$AP．
由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，
进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD，
从而确定G点位置． …（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查了逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．