Question

16．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=-1的一个交点的纵坐标为y₀，若|y₀|＜2，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{3}$）
• B． （1，$\sqrt{5}$）
• C． （$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （$\sqrt{5}$，+∞）

Answer 1

分析 求出直线和渐近线的交点的纵坐标，根据不等式关系求出a，b的范围，进行求解即可．

解答 解：∵双曲线的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
∴当x=-1时，y=±$\frac{b}{a}$，
∵交点的纵坐标为y₀，若|y₀|＜2，
∴|$\frac{b}{a}$|＜2，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$$＜\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
∵e＞1，
∴1＜e＜$\sqrt{5}$，
故选：B

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据交点坐标的取值范围建立不等式关系是解决本题的关键．