Question

5．已知等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=10•4^n-1（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=log₂a_n．
（I）求b_n，S_n；
（Ⅱ）设${c_n}={b_n}•（{\frac{{2{S_n}}}{n}+1}）$，求数列$\left\{{{a_n}+\frac{1}{c_n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）通过在a_n+1+a_n=10•4^n-1（n∈N^*）中分别令n=1、2计算可知等比数列{a_n}前三项的值，进而可知a_n=2^2n-1，根据对数的性质可知b_n=2n-1，利用公式计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）裂项、并项相加可知数列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n项和，利用等比数列的求和公式可知数列{a_n}的前n项和，两者相加即得结论．

解答 解：（I）在a_n+1+a_n=10•4^n-1（n∈N^*）中分别令n=1、2可知：
a₁+a₂=10，a₂+a₃=40，
又∵a₁，a₂，a₃构成等比数列，
∴a₁=2，a₂=8，a₃=32，
∴a_n=2•4^n-1=2^2n-1，b_n=log₂a_n=b_n=log₂2^2n-1=2n-1，
S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²；
（Ⅱ）由（I）可知${c_n}={b_n}•（{\frac{{2{S_n}}}{n}+1}）$=（2n-1）•（2n+1），
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
由等比数列的求和公式可知，数列{a_n}的前n项和为$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2（{4}^{n}-1）}{3}$，
并项相加可知，数列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n项和为$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
从而T_n=$\frac{2（{4}^{n}-1）}{3}$+$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，考查分组求和法，注意解题方法的积累，属于中档题．