Question

如图，三角形中，，是边长为的正方形，平面 ⊥底面，若、分别是、的中点．
（1）求证：∥底面；
（2）求证：⊥平面；
（3）求几何体的体积．

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）．

解析
试题分析：本题主要考查线面垂直、线线垂直、面面垂直、线线平行、线面平行、几何体的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力．第一问，作出辅助线，在中，HG为中位线，则，在中，HF为中位线，则，，所以，利用线面平行的判定得平面，平面，再利用面面平行的判定得平面//平面，利用面面平行的性质得//平面；第二问，由，得为直角三角形，，而平面，则由线面垂直的性质得，由线面垂直的判定得平面；第三问，取AB中点，由于为等腰直角三角形，所以，而，所以⊥平面，所以CN是锥体的高，利用锥体的体积公式计算体积即可．
（1）取的中点，连结，
因为分别是和的中点，所以，，    
又因为为正方形，   所以，从而，
所以平面，平面，，
所以平面//平面，所以//平面．          4分
（2）因为为正方形，所以，所以平面，    
又因为平面⊥平面，所以平面，          
所以，又