Question

【题目】已知直线：和圆：，给出下列说法：①直线和圆不可能相切；②当时，直线平分圆的面积；③若直线截圆所得的弦长最短，则；④对于任意的实数，有且只有两个的取值，使直线截圆所得的弦长为.其中正确的说法个数是（ ）

A.4个B.3个C.2个D.1个

Answer 1

【答案】B

【解析】

①直线的方程可以变形为，可得直线的必过定点A（1，3），然后利用圆C的圆心为点（1，3），然后算出即可判断是否相切，即可判断①

②当时，直线经过圆心（2，1），明显地，直线平分圆C的面积，这样就可以判断②

③由①得，直线的必过定点A（1，3），直线被圆C截得的弦长的最小值时，弦心距最大，然后解出即可判断③；

④当，即时，直线的斜率为，利用反证法，即可判断④

①圆C的标准方程为,圆心坐标（2，1）,半径，直线的方程

可以变形为，可得直线的必过定点（1，3），

又，所以点（1，3）在圆C内，所以直线和圆C相交，不可能相切

故：①正确

②当时，直线的方程为，即，又由直线经过圆心（2，1），所以当时，直线平分圆C的面积，

故：②正确

③由①得，直线的必过定点A（1，3），直线被圆C截得的弦长的最小值时，弦心距最大，此时，对于圆心C与A连成的直线CA，必有，又的斜率为，的斜率为，则有，解出

故：③正确

④当，即时，直线的斜率为，

过点（1，3）且斜率为的直线方程为，即，

圆心（2，1)到直线的距离，

所以直线截圆C所得的弦长，满足，

但直线的斜率不可能为，从而直线的方程不可能为，若，则只存在一个的取值，使得直线截圆C所得的弦长为

故：④不正确

故选：B