Question

【题目】(2016·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.

(1)求证：PD⊥平面PAB；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 见解析，（2），（3）

【解析】试题分析:(1)先根据面面垂直性质定理得AB⊥平面PAD，即得AB⊥PD，再根据PA⊥PD，由线面垂直判定定理得结论， (2) 先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解平面PCD法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)由 BM∥平面PCD得向量BM与平面法向量垂直，根据向量数量积为零，解得的值.

试题解析: (1)证明　∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又AB⊥AD，AB平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD.∵PD平面PAD.∴AB⊥PD.

又PA⊥PD，PA∩AB＝A，

∴PD⊥平面PAB.

(2)解　取AD中点O，连接CO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.

又∵PO平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD.

∵CO平面ABCD，∴PO⊥CO.

∵AC＝CD，∴CO⊥AD.

以O为原点建立如图所示空间直角坐标系.易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，－1，0)，C(2，0，0).

则＝(1，1，－1)，＝(0，－1，－1)，＝(2，0，－1).

＝(－2，－1，0).

设n＝(x0，y0，1)为平面PDC的一个法向量.

由得解得

即n＝.

设PB与平面PCD的夹角为θ.

则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝

＝.

(3)解　设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0，1]使得＝λ，因此点M(0，1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ).因为BM平面PCD，所以BM∥平面PCD，

当且仅当·n＝0，即(－1，－λ，λ)·＝0，解得λ＝，所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时＝.