Question

19．已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，且a₃，a₄+$\frac{5}{2}$，a₁₁成等比数列．
（1）求a_n的通项公式．
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通过记等差数列{a_n}的公差为d，利用a₁=1将a₃、a₄、a₁₁用d表示出来，进而利用a₃，a₄+$\frac{5}{2}$，a₁₁成等比数列得出关于d的方程，计算可知公差d=$\frac{3}{2}$，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知a_2n=3n-$\frac{1}{2}$、a_2n+1-a_2n-1=3，利用T_n=（a₃-a₁）a₂+（a₅-a₃）a₄+…+（a_2n+1-a_2n-1）a_2n，分组计算即得结论．

解答 解：（1）记等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=1可知，
a₃=1+2d，a₄+$\frac{5}{2}$=1+3d+$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{2}$+3d，a₁₁=1+10d，
又∵a₃，a₄+$\frac{5}{2}$，a₁₁成等比数列，
∴$（\frac{7}{2}+3d）^{2}$=（1+2d）（1+10d），
整理得：11d²-9d-$\frac{45}{4}$=0，
解得：d=$\frac{3}{2}$或d=-$\frac{15}{22}$（舍），
∴数列{a_n}的是首项为1、公差为$\frac{3}{2}$的等差数列，
故其通项公式a_n=1+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知a_n=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$，a_2n=3n-$\frac{1}{2}$，a_2n+1-a_2n-1=3，
∴T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1
=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1
=（a₃-a₁）a₂+（a₅-a₃）a₄+…+（a_2n+1-a_2n-1）a_2n
=3（a₂+a₄+…+a_2n）
=3（a₂+a₄+…+a_2n）
=3•$\frac{n（3-\frac{1}{2}+3n-\frac{1}{2}）}{2}$
=$\frac{9}{2}$n²+3n．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分组法求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．