Question

10．如图，AA₁B₁B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA₁=AB=2．
（1）求证：平面AA₁C⊥平面BA₁C；
（2）若AC=BC，求几何体A₁-ABC的体积V．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面AA₁C，即可证明平面AA₁C⊥平面BA₁C；
（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．

解答 （1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，
所以AC⊥BC．
因为AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA₁⊥BC，
而AC∩AA₁=A，所以BC⊥平面AA₁C．
又BC?平面BA₁C，所以平面AA₁C⊥平面BA₁C．…（6分）
（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB²=AC²+BC²且AC=BC，
得$AC=BC=\sqrt{2}$，
所以${V_{{A_1}-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•A{A_1}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{2}•2=\frac{2}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A₁-ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．