Question

1．已知函数$f（x）={sin^2}ωx+\sqrt{3}sinωx•sin（\frac{π}{2}+ωx）$，（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=1，f（x）在$[\frac{π}{4}，\;\frac{π}{2}]$上的最小值是1．

Answer 1

分析 由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，结合ω＞0，由周期公式即可解得ω的值，从而解得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由正弦函数的单调性可得f（x）在$[\frac{π}{4}，\;\frac{π}{2}]$上的最小值．

解答 解：∵f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）
=$\frac{1-cos2ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωxcosωx
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴由ω＞0，π=$\frac{2π}{2ω}$，可解得：ω=1．
∴可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵x∈$[\frac{π}{4}，\;\frac{π}{2}]$，可得：2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[1，$\frac{3}{2}$]，
∴f（x）在$[\frac{π}{4}，\;\frac{π}{2}]$上的最小值是1．
故答案为：1，1；

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基础题．