Question

6．已知$\vec a$与$\vec b$为非零向量，$|\vec a+\vec b|=|\vec a-\vec b|$，且$（\vec a+\vec b）⊥（\vec a-\vec b）$，则$（\vec a+\vec b）$与$\vec b$的夹角为45°．

Answer 1

分析 根据向量的夹角公式，以及向量的垂直，向量模计算即可．

解答 解：设$（\vec a+\vec b）$与$\vec b$的夹角为θ，
∵$|\vec a+\vec b|=|\vec a-\vec b|$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∵$（\vec a+\vec b）⊥（\vec a-\vec b）$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
∴$|\overrightarrow{a}|$=$|\overrightarrow{b}|$，
∴$（\vec a+\vec b）$•$\vec b$=${\overrightarrow{b}}^{2}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤θ≤180°，
∴θ=45°，
故答案为：45°．

点评 本题考查了向量的数量积的运算以及向量的模的计算以及向量垂直的条件，属于中档题．