Question

16．动圆M过定点（3，0），且与直线x=-3相切，设圆心M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）若过点P（6，0）的直线l与轨迹C交于A、B两点，且$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意便知圆心M的轨迹为以（3，0）为焦点，x=-3为准线的抛物线，从而便可得出抛物线方程为y²=12x；
（2）由条件可知直线l的斜率不为0，从而设l的方程为x=ty+6，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而根据$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$便可得到y₁=-2y₂．直线方程带入抛物线方程消去x便可得y²-12ty-72=0，由韦达定理即可得到$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=12t}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-72}\end{array}\right.$，这样联立y₁=-2y₂即可求出t的值，从而得出直线l的方程．

解答 解：（1）由题意得，M到点（3，0）的距离与到直线x=-3的距离都等于半径；
由抛物线的定义可知，C的轨迹是抛物线，设其方程为y²=2px，则，$\frac{p}{2}=3$；
∴p=6；
∴M的轨迹方程为y²=12x；
（2）显然斜率不为0，设直线l：x=ty+6，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
∵$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$；
∴（6-x₁，-y₁）=2（x₂-6，y₂）；
∴y₁=-2y₂①；
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{x=ty+6}\end{array}\right.$得y²-12ty-72=0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=12t}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-72}\end{array}\right.$，联立①式解得$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=12}\\{{y}_{2}=-6}\\{t=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=-12}\\{{y}_{2}=6}\\{t=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
∴直线l的方程为y=2x-12，或y=-2x+12．

点评 考查直线和圆相切时，圆心到切线距离等于半径，抛物线的定义，以及抛物线的标准方程，抛物线的焦点，过定点，且斜率不为0的直线方程的设法，向量数乘的坐标运算．