Question

5．已知点O为△ABC内一点，满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则△AOB与△ABC的面积之比是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 可作图，取AB中点D，从而有$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OD}$，这样即可得出$\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OD}$，从而有D，O，C三点共线，且得到$OD=\frac{1}{3}CD$，这样便可得出△AOB与△ABC的面积之比．

解答 解：如图，取AB中点D，则：$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OD}$；
∴由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$得，$2\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OD}$；
∴D，O，C三点共线，且OD=$\frac{1}{3}CD$；
∴△AOB与△ABC的面积之比是$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量数乘的几何意义，三角形的面积公式．