Question

5．数列{a_n}是递减的等差数列，{a_n}的前n项和是S_n，且S₆=S₉，有以下四个结论：
①a₈=0； 
②若对任意n∈N₊，都有S_n≤S_k成立，则k的值等于7或8时；
③存在正整数k，使S_k=0；
④存在正整数m，使S_m=S_2m．
其中所有正确结论的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由S₆=S₉，得到a₇+a₈+a₉=0，利用等差数列的性质化简，得到a₈=0，进而得到选项①正确；再由数列{a_n}是递减的等差数列以及a₈=0，可得出当n等于7或8时，s_n取最大值，选项②正确；利用等差数列的前n项和公式表示出S₁₅，利用等差数列的性质化简后，将a₈的值代入可得出S₁₅=0，故存在正整数k，使S_k=0，选项③正确；当m=5时，表示出S₁₀-S₅，利用等差数列的性质化简后，将a₈=0代入可得出S₁₀-S₅=0，即S₁₀=S₅ ，故存在正整数m，使S_m=S_2m，选项④正确．

解答 解：∵S₆=S₉，
∴a₇+a₈+a₉=0，
由等差数列性质得：3a₈=0，可得：a₈=0，选项①正确；
∵数列{a_n}是递减的等差数列，由已知a₁＞a₂＞…a₇＞a₈=0＞a₉…，
∴当n等于7或8时，s_n取最大值，选项②正确；
∵a₈=0，则S₁₅=$\frac{1}{2}$（a₁+a₁₅）×15=15a₈=0，
∴存在正整数k=15，使s_k=0，选项③正确；
由等差数列性质，S₁₀-S₅=a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀=5a₈=0，即S₁₀=S₅ ，
∴存在正整数m=5，使s_m=s_2m，选项④正确，
则其中所有正确结论的序号是①②③④．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列性质，以及等差数列的前n项和公式，利用了等量代换、以及整体代入的思想．利用a₈=0这一特殊项盘活了整个等量代换过程，故根据题意得出a₈=0是解本题的关键．