Question

15．已知f（x）=a^x-a^-x（其中0＜a＜1，x∈R）．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；
（2）若f（-2x²+3x）+f（m-x-x²）＞0对任意的x∈[0，1]均成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=a^x-a^-x（其中0＜a＜1，x∈R）为奇函数，在R上且为减函数．运用奇偶性的定义和导数判断单调性，即可得证；
（2）由题意运用f（x）在R上为奇函数且为减函数，可得m＜3x²-2x对0≤x≤1恒成立，由二次函数的最值求法，可得最小值，进而得到m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=a^x-a^-x（其中0＜a＜1，x∈R）为奇函数，
在R上且为减函数．
证明：定义域为R，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
即有f（x）为奇函数；
由f（x）的导数为f′（x）=a^xlna+a^-xlna=lna（a^x+a^-x），
由0＜a＜1可得lna＜0，a^x+a^-x＞0，即有f′（x）＜0，
则f（x）在R上递减；
（2）若f（-2x²+3x）+f（m-x-x²）＞0对任意的x∈[0，1]均成立，
即为f（-2x²+3x）＞-f（m-x-x²）=f（x²+x-m），
由f（x）为R上的减函数，可得
-2x²+3x＜x²+x-m，对0≤x≤1恒成立，
即有m＜3x²-2x对0≤x≤1恒成立，
由y=3x²-2x在x=$\frac{1}{3}$处取得最小值，且为-$\frac{1}{3}$，
则m＜-$\frac{1}{3}$，即有实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查指数函数的单调性，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的最值的求法，属于中档题．