Question

14．已知x＞1时，证明x＞lnx．

Answer 1

分析 构造函数，分别设设f（x）=lnx-x求导，求出函数的最大值与0的关系，即可证明．

解答 证：设f（x）=lnx-x；
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
故当x=1时函数有最大值，f（x）_max=f（1）=-1，
故f（x）=lnx-x＜0；
∴lnx＜x；

点评 本题考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及通过求导，利用函数单调性证明不等式的方法