Question

如图，已知四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，CD=PD=2EA，PD∥EA，F，G，H分别为PB，BE，PC的中点．
（I）求证：GH∥平面PDAE；
（II）求证：平面FGH⊥平面PCD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）分别取PD的中点M，EA的中点N，连结MH、NG、MN，由已知得四边形CHMN是平行四边形，由此能证明GH∥平面PDAE．
（Ⅱ）由线面垂直得PD⊥BC，由已知得BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，由三角形中位线定理得FH∥BC，从而FH⊥平面PCD，由此能证明平面FGH⊥平面PCD．

解答： 证明：（Ⅰ）分别取PD的中点M，EA的中点N，连结MH、NG、MN，
∵G，H分别是BE，PC的中点，∴MH

∥

.

1

2

CD，NG

∥

.

1

2

AB，
∵AB

∥

.

CD，∴MH

∥

.

NG，
∴四边形CHMN是平行四边形，∴GH∥MN，
又∵GH?平面PDAE，MN?平面PDAE，
∴GH∥平面PDAE．
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵BC⊥CD，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，
∵F，H分别为PB、PC的中点，∴FH∥BC，
∴FH⊥平面PCD，
∵FH?平面FGH，∴平面FGH⊥平面PCD．

点评：本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间向量在立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．