Question

设函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），则

b-2

a-1

的取值范围为（　　）

• A、（1，4）
• B、（

  1

  2

  ，1）
• C、（

  1

  4

  ，

  1

  2

  ）
• D、（

  1

  4

  ，1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：求导数，利用导函数f′（x）=x²+ax+b的图象开口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．

解答： 解：∵函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，
∴x₁，x₂是导函数f′（x）=x²+ax+2b的两根
由于导函数f′（x）=x²+ax+2b的图象开口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
∴

b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

满足条件的约束条件的可行域如图所示：
令Z=

b-2

a-1

，则其几何意义是区域内的点与P（1，2）连线的斜率，
∴由

b=0 1+a+2b=0

，可得a=-1，b=0，B（-1，0）.kPB=

0-2

-1-1

=1

1+a+2b=0 4+2a+2b=0

，可得a=-3，b=1，可得A（-3，1）．kPA=

1-2

-3-1

=

1

4

．
∴

b-2

a-1

∈（

1

4

，1）．
故选：D．

点评：本题考查函数的导数，函数的极值以及不等式求解函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．