Question

已知函数f（x）=2sinxcosx-2cos²x-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称轴方程．
（Ⅱ）直接利用函数的定义域，利用整体思想求正弦型函数的值域，进一步求出函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx-2cos²x-1
=sin2x-（cos2x+1）-1
=

2

sin(2x-

π

4

)-2．
所以：函数的最小正周期为：T=

2π

2

=π
令：2x-

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：x=

kπ

2

+

3π

8

（k∈Z）
（Ⅱ）由于：0≤x≤

π

2

所以：-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

所以：-1≤

2

sin(2x-

π

4

)≤

2

进一步求得：-3≤f(x)≤

2

-2
所以：函数的最大值为：

2

-2

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，周期性的应用，对称性的应用，利用函数的定义域求出函数的值域．属于基础题型．