Question

已知f（1）=1，f（x）=

f(x-1)+x，x为奇数 f(x-1)+2x，x为偶数

（x=2，3，…），m∈N⁺，则f（2m）=（　　）

• A、2^m+1
• B、

  11

  2

  m-6
• C、

  5，m=1 4m2-3m+6，m≠1

• D、3m²+2m

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由f（1），求得f（2），即可排除A，B，再由假设C，D，推理论证，即可判断C错误，D正确．

解答： 解：由f（1）=1，可得f（2）=f（1）+4=1+4=5，可排除选项A和B；
又f（3）=f（2）+3=5+3=8，f（4）=f（3）+8=8+8=16，
若f（2m）=

5，m=1 4m2-3m+6，m≠1

，则f（2m）=f（2m-1）+4m，
即有f（2m-1）=4m²-3m+6-4m=4m²-7m+6（m≠1），
又f（2m-1）=f（2m-2）+2m-1=4（m-1）²-3（m-1）+6+2m-1=4m²-9m+12，
显然不成立，即选项C可排除；
若f（2m）=3m²+2m，则f（2m）=f（2m-1）+4m，
即有f（2m-1）=3m²-2m，
又f（2m-1）=f（2m-2）+2m-1=3（m-1）²+2（m-1）+2m-1=3m²-2m．
显然成立，则选项D正确．
故选：D．

点评：本题考查分段函数的运用，主要考查通过列举归纳数列的通项，运用排除法是解题的关键，属于中档题和易错题．