Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，D是AC的中点，A₁D与AC₁交于点E，F在线段AC₁上，且AF=2FC₁，AA₁=1，AB=2，AC=1，∠BAC=60°．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）求证：B₁F∥平面A₁BD；
（Ⅲ）求直线BC与平面A₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由CC₁⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，可证BC⊥CC₁，在△ABC中，由余弦定理可证|AB|²=|BC|²+|AC|²，即有BC⊥AC，又AC⊆平面AA₁CC₁，CC₁⊆平面AA₁CC₁，AC∩CC₁=C，从而可证BC⊥平面AA₁CC₁．
（Ⅱ）以C为原点，分别以CA，CC₁，CB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则设F（x，y，0），由AF=2FC，可解得F，

FB

坐标，令

FB

=m

DB

+n

DA

，可解得存在m=1，n=

1

3

，使得

FB

=m

DB

+n

DA

，可得向量

FB

与

DB

，

DA

共面，又B₁，F?平面A₁BD，可证B₁F∥平面A₁BD．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求得

DB

，

DA1

，

CB

坐标，设平面A₁BD的一个法向量m=（x，y，z），直线BC与平面A₁BD所成的角为θ，由

m• DB =0 m• DA1 =0

，整理得

z= 1 2 3 x y=- 1 2 x

，令x=2

3

，求得平面A₁BD的一个法向量m，从而由sinθ=|

m• CB

|m|•|CB|

|即可得解．

解答： 解：（Ⅰ）∵CC₁⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，
∴BC⊥CC₁，
在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，
∴|BC|²=|AB|²+|AC|²-2|AB||AC|cos∠BAC=3，
则|AB|²=|BC|²+|AC|²，
∴∠BAC=90°，BC⊥AC，
又∵AC⊆平面AA₁CC₁，CC₁⊆平面AA₁CC₁，AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面AA₁CC₁．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CC₁⊥CA，CC₁⊥CB，AC⊥CB，
如图，以C为原点，分别以CA，CC₁，CB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则有A（1，0，0），B（0，0，

3

），A₁（1，1，0），B₁（0，1，

3

），C₁（0，1，0），D（

1

2

，0，0），
设F（x，y，0），则

AF

=（x-1，y，0），

FC

=（-x，1-y，0），
∵AF=2FC，∴

x-1=-2x y=2(1-y)

，解得

x= 1 3 y= 2 3

，
即F（

1

3

，

2

3

，0），

FB

=（-

1

3

，

1

3

，

3

），
若令

FB

=m

DB

+n

DA

，可解得m=1，n=

1

3

，
∴存在m=1，n=

1

3

，使得

FB

=m

DB

+n

DA

，
∴向量

FB

与

DB

，

DA

共面，
又∵B₁，F?平面A₁BD，
∴B₁F∥平面A₁BD．
（Ⅲ）

DB

=（-

1

2

，0，

3

），

DA1

=（

1

2

，1，0），

CB

=（0，0，

3

），
设平面A₁BD的一个法向量m=（x，y，z），直线BC与平面A₁BD所成的角为θ，
由

m• DB =0 m• DA1 =0

得

- 1 2 x+ 3 z=0 1 2 x+y=0

，整理得

z= 1 2 3 x y=- 1 2 x

，
令x=2

3

，得平面A₁BD的一个法向量m=（2

3

，-

3

，1），
所以sinθ=|

m• CB

|m|•|CB|

|=|

3

16 × 3

|=

1

4

．
故直线BC与与平面A₁BD所成的角的正弦值为

1

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，直线与平面垂直的判定，正确求出平面的法向量是解题的关键，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，考查了转化思想，属于中档题．