Question

试比较2ⁿ与n²（n∈N^*）的大小关系，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数学归纳法证明，①易验证当n=5时不等式成立，②假设n=k（k≥5，k∈N^*成立），利用该归纳假设，取推证当n=k+1时，不等式也成立即可．

解答： 解：当n=1时，2ⁿ=2，n²=1，2ⁿ＞n²；
当n=2时，2ⁿ=4，n²=4，2ⁿ=n²；
当n=3时，2ⁿ=8，n²=9，2ⁿ＜n²；
当n=4时，2ⁿ=16，n²=16，2ⁿ=n²；
当n=5时，2ⁿ=32，n²=25，2ⁿ＞n²；
于是可猜测：2ⁿ＞n²（n≥5）．
证明：①当n=5时，均有2ⁿ＞n²，不等式成立；
②假设n=k（k≥5，k∈N^*）时不等式成立，即2^k＞k²；
则当n=k+1时，
左边=2^k+1=2×2^k＞2k²，右边=（k+1）²=k²+2k+1，
∵k≥5，2k²-（k²+2k+1）=k²-2k-1=（k-1）²-2＞0，
∴2k²＞（k+1）²，
即当n=k+1时，2^k+1＞（k+1）²，不等式成立；
综上所述，2ⁿ＞n²（n≥5，n∈N^*）．

点评：本题考查数学归纳法，着重考查变形、推理与论证的能力，属于难题．