Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率是

2

2

，且过点（2，

2

）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若A，B，C是椭圆E上的三个动点，A，B关于原点对称，且△ABC的面积是4

2

，设直线AB，OC的斜率分别是k₁，k₂，求k₁•k₂值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：方程思想,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率、椭圆过点（2，

2

）以及a²、b²、c²的关系，列出方程组，求出a²与b²即可；
（Ⅱ）由AB的直线方程与椭圆E的方程联立，求出|AB|的大小；再由OC的直线方程与椭圆E的方程联立，求出点C的坐标，
计算点C到直线AB的距离d，利用△ABC的面积求出k₁k₂的值．

解答： 解：（Ⅰ）根据题意，得；
 椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率是

2

2

，
∴e=

c

a

=

2

2

①，
又椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1过点（2，

2

），
∴

4

a2

+

2

b2

=1②，
又∵a²=b²+c²③，
由①、②、③组成方程组，解得；
a²=8，b²=4；
∴椭圆E的方程为 

x2

8

+

y2

4

=1；

（Ⅱ）根据题意，得；
AB所在直线方程为y=k₁x，
代入椭圆E的方程并整理得：
（2k12+1）x²=8，
解得x=±

2 2

2k12+1

，
∴|AB|=

1+k12

|x₁-x₂|=

1+k12

•

4 2

2k12+1

；
又OC所在直线方程为：y=k₂x，
与椭圆E的方程联立，得

y=k2x x2 8 + y2 4 =1

；
解得C（±

2 2

2k22+1

，±

2 2 k2

2k22+1

），
∴点C到直线AB的距离为d=

| 2 2 (k1-k2) 2k22+1 |

1+k12

；
∴S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

8|k1-k2|

(2k12+1)(2k22+1)

=4

2

，
∴2k12-4k₁k₂+2k22=4k12k22+2k12+2k22+1，
∴4k12k22+4k₁k₂+1=0，
∴k₁k₂=-

1

2

．

点评：本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，也考查了方程组的解法与应用问题，点到直线的距离以及三角形面积的计算问题，是综合性题目．