Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=

1

2

AA₁=

2

2

BC，D、E、F分别是BC、BB₁、CC₁的中点．
（1）求证A₁E∥平面ADF；
（2）若AB=1，求C到平面ADF的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取B₁C₁中点M，连接EM，A₁M，由已知得平面ADF∥平面A₁EM，由此能证明A₁E∥平面ADF．
（2）利用等体积求出C到平面ADF的距离．

解答： （1）证明：取B₁C₁中点M，连接EM，A₁M，
∵DF∥EM，AD∥A₁M，AD∩DF=D，A₁M∩EM=M，
∴平面ADF∥平面A₁EM，
∵A₁E?平面A₁EM，
∴A₁E∥平面ADF．
（2）解：∵AB=AC=

1

2

AA₁=

2

2

BC=1，D是BC的中点．
∴AD⊥BC，AD⊥DF，AD=DC=

2

2

，CF=1，DF=

6

2

，
设C到平面ADF的距离为h，则

1

3

×

1

2

×

2

2

×

6

2

×h=

1

3

×

1

2

×

2

2

×1×

2

2

，
∴h=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查C到平面ADF的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．