Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0），其焦点为F（1，0），过F作斜率为k的直线交抛物线C于A、B两点，交其准线于P点．

（1）求P的值；
（2）设|PA|+|PB|=λ|PA||PB||PF|，若k∈[ ，1]，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为焦点F（1，0），所以 ，解得p=2．
（2）解：由题可知：直线AB的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），准线的方程为x=﹣1

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ．由 消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

故 ．

由|PA|+|PB|=λ|PA||PB||PF|得

解得 ．

因为k∈[ ，1]，所以λ∈[ ， ]．

【解析】（1）运用抛物线的焦点坐标，计算即可得到所求方程；（2）由题可知：直线AB的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），准线l的方程为x=﹣1，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．