Question

【题目】函数f（x）= ．
（1）求函数f（x）的定义域A；
（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩RA）时，证明： |．

Answer 1

【答案】
（1）解:由题意得：|x+1|+|x+2|﹣5≥0，

当x≤﹣2时，得x≤﹣4；当﹣2＜x＜﹣1时，无解；当x≥﹣1时，得x≥1，

∴A={x|x≤﹣4或x≥1}；

（2）证：∵B={x|﹣1＜x＜2}，RA={x|﹣4＜x＜1}，

∴B∩RA={x|﹣1＜x＜1}，

∴a、b∈{x|﹣1＜x＜1}，

要证 ＜|1+ |，只需证4（a+b）2＜（4+ab）2，

∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=（b2﹣4）（4﹣a2），

∵a、b∈{ x|﹣1＜x＜1}，

∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，

∴ ＜|1+ |成立．

【解析】（1）分类讨论x的范围，根据负数没有平方根，利用绝对值的代数意义求出x的范围，即可确定出A；（2）求出B与A补集的交集，得到a、b满足的集合，把所证等式两边平方，利用作差法验证即可．
【考点精析】本题主要考查了交、并、补集的混合运算和函数的定义域及其求法的相关知识点，需要掌握求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法；求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零才能正确解答此题．