Question

【题目】如图，函数与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥．记，梯形面积为．

（Ⅰ）求面积以为自变量的函数解析式；

（Ⅱ）若其中为常数且，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（II）时， 的最大值为； 时， 的最大值为

【解析】试题分析：根据题意设点C的横坐标为x，点C在抛物线上，求出点C的纵坐标，根据抛物线的对称性得出点D的坐标，利用抛物线方程求出点A、B的坐标，从而借助梯形面积公式表示面积S，写出定义域要求；对函数求导，注意定义域，对参数的不同情况进行讨论，求出面积的最大值.

试题解析：

（Ⅰ）依题意点的横坐标为，点的纵坐标为．

点的横坐标满足方程，解得，

所以．

由点在第一象限，得．

所以关于的函数式为 ， ．

（Ⅱ）记，

令，得

① 若，即时， 与的变化情况如下：

	↗	极大值	↘

所以，当时， 取得最大值，且最大值为

② 若，即时， 恒成立，

所以， 的最大值为．

综上， 时， 的最大值为； 时， 的最大值为

．