Question

幂函数f（x）的图象过点（

3

，3），若函数g（x）=f（x）+1在区间[m，2]上的值域是[1，5]，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：幂函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用幂函数的定义可得f（x）=x²，函数g（x）=f（x）+1=x²+1．再利用二次函数的单调性与值域即可得出．

解答： 解：设幂函数f（x）=x^α（α为常数）．
∵幂函数f（x）的图象过点（

3

，3），
∴3=(

3

)α，解得α=2．
∴f（x）=x²．
∴函数g（x）=f（x）+1=x²+1．
∴g（x）在（-∞，0]单调递减，在[0，+∞）单调递增．
而f（0）=1，f（2）=f（-2）=5．
又函数g（x）在区间[m，2]上的值域是[1，5]，
∴-2≤m≤0．
∴实数m的取值范围是-2≤m≤0．
故答案为：[-2，0]．

点评：本题考查了幂函数的定义、二次函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．