Question

已知函数f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，2），若将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x）；
（1）求实数a的值与g（x）的解析式；
（2）求函数h（x）=

g(x)-1

g(x)+1

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,指数函数的图像与性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，代入（3，2），从而求出a，再由图象变换求出g（x）的解析式；
（2）函数h（x）=

g(x)-1

g(x)+1

可化为y=

3x-1

3x+1

，则3x=-

y+1

y-1

＞0，从而解出值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，2），
则f（3）=a^3-a+1=2，
即a^3-a=1，
3-a=0，
a=3，
则f（x）=3^x-3+1，
又由函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移3个单位后得到函数g（x）；
则g（x）=3^x．
（2）函数h（x）=

g(x)-1

g(x)+1

可化为y=

3x-1

3x+1

，
则3x=-

y+1

y-1

＞0，
解得-1＜y＜1，
即h（x）的值域为（-1，1）．

点评：本题考查了令参数时参数的求法，代入点即可；同时考查了图象的变换及函数的值域的求法，属于基础题．