Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b∈R），若f（1）=-1且函数f（x）的图象关于直线x=1对称．
（1）求a，b的值；
（2）若函数f（x）在[k，k+1]（k≥1）上的最大值为8，求实数k的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用二次函数的对称轴以及函数值，直接求a，b的值；
（2）判断函数f（x）在[k，k+1]（k≥1）上的单调性，然后通过最大值为8，即可求实数k的值．

解答： 解：（1）由题意可得：f（1）=a+b=-1且-

b

2a

=1…（4分）
解得：a=1，b=-2…（6分）
（2）f（x）=x²-2x=（x-1）²-1
因为k≥1，所以f（x）在[k，k+1]上单调递增…（7分）
所以f(x)max=f(k+1)=(k+1)2-2(k+1)=8…（9分）
解得：k=±3…（11分）
又k≥1，所以k=3…（12分）

点评：本题考查二次函数的基本性质，闭区间的最值的求法，函数单调性的应用，考查计算能力．