Question

设函数f（x）=x²+px+q，p，q∈R．
（Ⅰ）若p+q=3，当x∈[-2，2]时，f（x）≥0恒成立，求p的取值范围；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由p+q=3便可得到f（x）=x²+px+3-p，讨论判别式△的取值，从而判断f（x）≥0解的情况：△=p²-4（3-p）≤0，即-6≤p≤2时，f（x）≥0满足在[-2，2]上恒成立；△=p²-4（3-p）＞0，即p＜-6，或p＞2时，对于方程x²+px+3-p=0的两根，大根

-p+ p2-4(3-p)

2

≤-2，或小根

-p- p2-4(3-p)

2

≥2，所以通过解不等式求出△＞0时p的取值范围，再合并-6≤p≤2即可得到p的取值范围；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则必须

|f(1)|≤2 |f(5)|≤2

，（1），然后通过解该不等式组能够得出p的取值范围，并求出-

p

2

的范围，可判断f（x）的对称轴在区间[1，5]上，所以f（x）在[1，5]上的最小值f（-

p

2

）≥-2，该不等式结合不等式组（1）通过求p的取值范围，能够求出p=-6，将p带入前面不等式，同样通过求q的范围能够得到q=7，所以便得到满足条件的实数对只一对为（-6，7）．

解答： 解：（Ⅰ）∵p+q=3，∴q=3-p；
∴f（x）=x²+px+3-p；
x∈[-2，2]时，f（x）≥0恒成立：
（1）若△=p²-4（3-p）≤0，即-6≤p≤2时，f（x）满足该条件；
（2）若△=p²-4（3-p）＞0，即p＜-6，或p＞2时，则p需满足：

-p+ p2-4(3-p)

2

≤-2，或

-p- p2-4(3-p)

2

≥2；
解得-7≤p≤-4，∴-7≤p＜-6；
综合（1）（2）得-7≤p≤2；
∴p的取值范围是[-7，2]；
（Ⅱ）要使|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则需满足：

-2≤f(1)≤2 -2≤f(5)≤2

，即

-2≤1+p+q≤2 -2≤25+5p+q≤2

（3）；
∴

-2≤-1-p-q≤2 ① -2≤25+5p+q≤2 ②

；
①+②得-7≤p≤-5；
f（x）的对称轴为x=-

p

2

，

5

2

≤-

p

2

≤

7

2

；
∴f（x）的对称轴在区间[1，5]内；
∴要使|f（x）|＞2，在区间[1，5]上无解，还需满足：
f(-

p

2

)≥-2，即

4q-p2

4

≥-2，即q≥

p2

4

-2；
结合（3）可得到p，q需满足：

-2≤1+p+q≤2 -2≤25+5p+q≤2 q≥ p2 4 -2

，解该不等式组得：
p=-6，带入该不等式组可得q=7；
所以满足题意的实数对（p，q）只有一对：（-6，7）．

点评：考查一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，一元二次方程的求根公式，以及二次函数的对称轴，及顶点处的函数值，可结合二次函数f（x），|f（x）|图象求解本题．