Question

已知方程

|sinx|

x

=k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（　　）

• A、sinα=αcosβ
• B、sinα=-αcosβ
• C、cosα=βsinβ
• D、sinβ=-βsinα

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化

专题：数形结合,转化思想,函数的性质及应用

分析：方程

|sinx|

x

=k有两个根，即函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，画出函数图象，利用导数求切线即可．

解答： 解：∵

|sinx|

x

=kx有两个根，∴函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，x＞0且k＞0，画出两个函数的图象，如图（1）

      图1
函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（α，sinα），在（π，2π）上有一个切点B（β，sinβ）时满足题意，α，β是方程的根．
当x∈（π，2π）时，f（x）=|sinx|=-sinx，f′（x）=-cosx，
∴在B处的切线为y-sinβ=f′（β）（x-β），将x=0，y=0代入方程，得sinβ=-βcosβ，
∴

sinβ

β

=-cosβ，
∵O，A B三点共线，
∴

-sinα

α

=

-sinβ

β

，
∴

sinα

α

=-cosβ，
∴sinα=-αcosβ．
故选：B．

点评：本题借助图象考查了方程的根，函数的零点，以及导数的知识．把方程转化为函数的交点，数形结合是解题关键．