Question

已知偶函数f（x）满足：f（x）=f（x+2），且当x∈[0，1]时，f（x）=sinx，其图象与直线y=

1

2

在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂…，则

P1P3

•

P2P4

等于

 

．

Answer 1

分析：根据题目条件中所给的函数是一个偶函数知函数图象关于纵轴对称，根据f（x）=f（x+2）知函数是以2为周期，可以粗略的看出函数的变化趋势，写出四个点的坐标，得到向量的坐标，求出数量积．

解答：解：∵偶函数f（x）满足：f（x）=f（x+2），
且当x∈[0，1]时，f（x）=sinx，
∴根据图象关于y轴对称可以看出[-1，0]上的图象，根据周期是2可以看出在整个定义域上的图象，
∴P₁（

π

6

，

1

2

），P₂（2-

π

6

，

1

2

），P₃（2+

π

6

，

1

2

），P₄（4-

π

6

，

1

2

）
∴

P1P3

=（2，0），

P2P4

=（2，0）
∴

P1P3

•

P2P4

=4，
故答案为：4

点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的坐标，用数量积列出式子，但是题目的重心是函数的性质的应用，在解题过程中函数的性质占有主要地位．