Question

【题目】设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞ex ， 则使得f（x）＞xex+2ex成立的x的取值范围是（ ）
A.（0，+∞）
B.（1，+∞）
C.（0，1）
D.（﹣∞，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：构造辅助函数g（x）=e﹣xf（x）﹣x，g′（x）=﹣e﹣xf（x）+f′（x）e﹣x﹣1=e﹣x[f′（x）﹣f（x）]﹣1，

由f′（x）﹣f（x）＞ex，g′（x）＞0恒成立．

∴g（x）在定义域上是单调递增函数，

要使f（x）＞xex+2ex，即：e﹣xf（x）﹣x＞2，

只需将g（x）的最小值大于2，

∵g（0）=2，g（x）在定义域上是单调递增函数；

故x＞0，即x的取值范围是（0，+∞）．

故答案选：A

根据f′（x）﹣f（x）＞ex，构造g（x）=e﹣xf（x）﹣x，求导，求出函数的单调增函数，只需将求g（x）的最小值大于2，即可求得x的取值范围．