Question

已知函数f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+x+b（a≥0），f′（x）为函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）设函数f（x）的图象与x轴交点为A，曲线y=f（x）在A点处的切线方程是y=3x-3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=e^-ax•f′（x），求函数g（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）根据曲线y=f（x）在A点处的切线方程是y=3x-3，建立关于a和b的方程组，解之即可；
（II）先求出函数g（x）的解析式，然后讨论a的正负，利用导数的符号研究函数的单调性，根据fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出函数g（x）的单调区间即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+x+b（a≥0），
∴f'（x）=x²+ax+1．（1分）
∵f（x）在（1，0）处切线方程为y=3x-3，
∴

f′(1)=3 f(1)=0

，（3分）
∴a=1，b=-

11

6

．（各1分）（5分）
（Ⅱ）g（x）=e^-ax•f′（x）=

x2+ax+1

eax

，x∈R．
g'（x）=-x[ax+（a²-2）e^-ax]．（7分）
①当a=0时，g'（x）=2x，

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	减函数	极小值	增函数

g（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间（-∞，0）．（9分）
②当a＞0时，令g'（x）=0，得x=0或x=

2

a

-a（10分）
（ⅰ）当

2

a

-a＞0，即0＜a＜

2

时，

x	（-∞，0）	0	（0， 2 a -a）	2 a -a	（ 2 a -a，+∞）
g'（x）	-	0	+	0	-
g（x）	减函数	极小值	增函数	极大值	减函数

g（x）的单调递增区间为（0，

2

a

-a），单调递减区间（-∞，0），（-

2

a

-a，+∞）；（11分）
（ⅱ）当

2

a

-a=0，即a=

2

时，g'（x）=-2x²e^-2x≤0，
故g（x）在（-∞，+∞）单调递减；（12分）
（ⅲ）当

2

a

-a＜0，即a＞

2

时，

x	（-∞， 2 a -a）	2 a -a	（ 2 a -a，0）	0	（0，+∞）
g'（x）	-	0	+	0	-
g（x）	减函数	极小值	增函数	极大值	减函数

g（x）在（

2

a

-a，0）上单调递增，在（0，+∞），（-∞，

2

a

-a）上单调递（13分）
综上所述，当a=0时，g（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间（-∞，0）；
当0＜a＜

2

时，g（x）的单调递增区间为（0，

2

a

-a），单调递减区间为（-∞，0），
当a=

2

时，g（x）的单调递减区间为（-∞，+∞）；
当a＞

2

时，g（x）的单调递增区间为（

2

a

-a，0），单调递减区间为（0，+∞），（-∞，

2

a

-a）．（“综上所述”要求一定要写出来）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查分类讨论的思想，计算能力，属于中档题．