Question

19．下列命题中
①若f′（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀取得极值；
②直线5x-2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象不相切；
③若z∈C（C为复数集），且|z+2-2i|=1，则|z-2-2i|的最小值是3；
④定积分${∫}_{-4}^{0}$$\sqrt{16-{x}^{2}}$dx=4π．
正确的有（　　）

• A． ①④
• B． ③④
• C． ②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①若f′（x₀）=0，且在x=x₀的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x₀取得极值判断即可；
②求出导数f′（x），由切线的斜率等于f′（x₀），根据三角函数的值域加以判断即可；
③|z+2-2i|=1表示圆，|z-2-2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值；
④令y=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，则x²+y²=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的$\frac{1}{4}$．

解答 解：①若f′（x₀）=0，且在x=x₀的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x₀取得极值，故不正确；
②若直线与函数的图象相切，则f′（x₀）=2.5，即2cos（2x₀+$\frac{π}{3}$）=2.5，显然x₀不存在，故②正确；
③|z+2-2i|=1的几何意义是以A（-2，2）为圆心，半径为1的圆，|z-2-2i|的几何意义是圆上一点到点B（2，2）的距离，连接AB并延长，显然最小值为AB-1=4-1=3，故③正确；
④令y=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，则x²+y²=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，定积分${∫}_{-4}^{0}$$\sqrt{16-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的$\frac{1}{4}$，故定积分${∫}_{-4}^{0}$$\sqrt{16-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}$×π×4²=4π，故④正确．
故选：D

点评 本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道中档题．