Question

（2008•南京模拟）已知k为正常数，方程x²-kx+u=0有两个正数解x₁，x₂．
（1）求实数u的取值范围；
（2）求使不等式（

1

x1

-x₁） （

1

x2

-x₂）≥（

k

2

-

2

k

）²恒成立的k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据方程x²-kx+u=0有两个正数解x₁，x₂．可建立不等式组，从而得解；
（2）先利用韦达定理，将左边表示成实数u的式子，利用导数法研究其最小值，从而解决恒成立问题．

解答：解：（1）由于方程x²-kx+u=0有两个正数解x₁，x₂．
所以

△=k2-4u≥0 x1+x2=k＞0 x1x2=u＞0

…（3分）解得0＜u≤

k2

4

，
即实数u的取值范围是（0，

k2

4

]；…（6分）
（2）（

1

x1

-x₁） （

1

x2

-x₂）=x₁x₂+

1

x1x2

-

x12+x22

x1x2

=u-

k2-1

u

+2．
令f （u）=u-

k2-1

u

+2（u＞0），所以f′（u）=1+

k2-1

u

，…（8分）
（i）若k≥1，因为0＜u≤

k2

4

，所以f′（u）＞0，从而f （u）在（0，

k2

4

]为增函数，所以
u-

k2-1

u

+2≤f （

k2

4

）=

k2

4

-

k2-1

k2 4

+2=（

k

2

-（

2

k

）²，
即（

1

x1

-x₁） （

1

x2

-x₂）≥（（

k

2

-（

2

k

）²不恒成立．…（10分）
（ii）若0＜k＜1，由f′（u）=1+

k2-1

u2

=0，得u=

1-k2

，
当u∈（0，

1-k2

），f′（u）＜0；当u∈（

1-k2

，+∞），f′（u）＞0，
所以函数f （u）在（0，

1-k2

]上递减，在[

1-k2

，+∞）上递增，…（12分）
要使函数f （u）在（0，

k2

4

]上恒有f （u）≥f （

k2

4

），必有

1-k2

≥

k2

4

，即k⁴+16 k²-16≤0，…（14分）
解得0＜k≤2

5 -2

．综上，k的取值范围是（0，2

5 -2

]．…（16分）

点评：本题以方程为载体，考查方程根问题，考查恒成立的处理，关键是进行分类讨论，利用导数研究函数的最小值．