Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体, 存在非零常数T, 对任意x∈R, 有f（x+T）=T
f（x）成立．
（1） 函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由;
（2）设f（x）∈M, 且T=2, 已知当时, f（x）=x+lnx, 求当时, f（x）的解析式．
（3）若函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

解: (1) 假设函数f(x)=x属于集合M,
则存在非零常数T, 对任意x∈R, 有成立,
即: x+T=Tx成立.
令x=0, 则T=0, 与题矛盾.
故.
(2) , 且T=2, 则对任意x∈R, 有,
设, 则,
当时, ,
故当时, . 
(3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.  
当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，
所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立，
即sin(kx+kT)=Tsinkx .      
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx ∈[-1，1]，sin（kx+kT） ∈[-1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx .成立，只有T= ，
①当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z .  
②当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，
则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－(2m－1)π, m∈Z 
综合得，实数k的取值范围是{k|k= nπ, n∈Z}