Question

5．已知直线l过点（0，-4），P是l上的一动点，PA，PB是圆C：x²+y²-2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则直线的斜率为（　　）

• A． $±\sqrt{2}$
• B． ±$\frac{\sqrt{21}}{2}$
• C． ±2$\sqrt{2}$
• D． ±2

Answer 1

分析 由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．

解答 解：∵圆的方程为：x²+（y-1）²=1，
∴圆心C（0，1），半径r=1．
根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，
切线长PA，PB最小，切线长为2，
∴PA=PB=2．
∴圆心到直线l的距离为d=$\sqrt{5}$，直线方程为y+4=kx，即kx-y-4=0，
∴$\sqrt{5}$=$\frac{|-4-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，解得k=±2．
则所求直线的斜率为：±2．
故选：D．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，解题的关键是“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”属于中档题．