Question

17．如图，在三棱柱ABM-DCN中，侧面ADNM⊥侧面ABCD，且侧面ADNM是矩形，AD=2，AM=1，侧面ABCD是菱形，∠DAB=60°，E是AB的中点．
（1）求证：AN∥平面MEC；
（2）求三棱锥E-CMN的体积．

Answer 1

分析 （1）设MC，BN交于F，连结EF，由四边形BCNM是平行四边形可得F是BN的中点，由中位线定理得EF∥AN，故AN∥平面MEC；
（2）V_E-CMN=$\frac{1}{2}$V_A-CMN=$\frac{1}{2}$V_C-ANM=$\frac{1}{2}$V_B-ANM=$\frac{1}{2}$V_N-MAB=$\frac{1}{2}$V_D-MAB=$\frac{1}{2}$V_M-ABD．

解答 证明：（1）设MC，BN交于F，连结EF，
∵四边形BCNM是平行四边形，
∴F是BN的中点，∵E是AB的中点，
∴EF∥AN，
又AN?平面MEC，EF?平面MEC，
∴AN∥平面MEC．
（2）∵E是AB的中点，∴V_E-CMN=$\frac{1}{2}$V_A-CMN=$\frac{1}{2}$V_C-ANM．
∵BC∥平面ADNM，∴V_C-ANM=V_B-ANM=V_N-MAB，
∵ND∥平面ABM，∴V_N-MAB=V_D-MAB=V_M-ABD．
∵平面ADNM⊥平面ABCD，平面ADNM∩平面ABCD=AD，MA⊥AD，
∴MA⊥平面ABCD，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴V_M-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•AM$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴V_E-CMN=$\frac{1}{2}$V_M-ABD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．