Question

6．随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对公务员和教师各抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：

	公务员	教师	合计
同意延迟退休	40	n	70
不同意延迟退休	m	20	p
合计	50	50	100

附：

（Ⅰ）求上表中m，n，p的值，并问是否有95%的把握认为“是否同意延迟退休与不同的职业有关”．
（Ⅱ）现用分层抽样方法（按同意和不同意分二层）从调查的两个职业人群中各抽取五人，然后从每个职业的五人中各抽取两人，将这四人中的同意延迟退休的人数记为x，求x的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题中提供的数据，得到m=10，n=30，p=30．从而求出K²=$\frac{100}{21}≈4.762＞3.841$，从而有95%的把握认为“是否同意延迟退休与不同的职业有关”．
（Ⅱ）公务员有4人同意，1人不同电，教师有3人同意，2人不同意，从两个职业人群中各抽取巧人，同意延迟退休的人数X的取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）根据题中提供的数据，得到：
$\left\{\begin{array}{l}{40+m=50}\\{n+20=50}\\{70+p=100}\end{array}\right.$，
解得m=10，n=30，p=30．
K²=$\frac{n（ab-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100（40×20-30×10）^{2}}{50×50×70×30}$=$\frac{100}{21}≈4.762＞3.841$，
∴有95%的把握认为“是否同意延迟退休与不同的职业有关”．
（Ⅱ）公务员有4人同意，1人不同电，教师有3人同意，2人不同意，
从两个职业人群中各抽取巧人，同意延迟退休的人数X的取值为1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{25}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}+{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{2}}$=$\frac{9}{50}$，
P（X=3）=1-$\frac{1}{25}-\frac{3}{10}-\frac{9}{50}$=$\frac{12}{25}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{9}{50}$

EX=$\frac{1}{25}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{12}{25}+4×\frac{9}{50}$=$\frac{14}{5}$．

点评 本题考查K²的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．